6. Постройте график функции y = ((x² + 7x + 12)(x² − x − 2))/(x² + 5x + 4) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим многочлены на множители и укажем область определения:

\(y=\dfrac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)}=(x+3)(x-2)=x^2+x-6\), но \(x\ne-1\) и \(x\ne-4\), поскольку при этих значениях исходная функция не определена.

Значит, график — парабола \(y=x^2+x-6\) с выколотыми точками \((-1;-6)\) и \((-4;6)\). Вершина параболы: \(\left(-\dfrac12; -\dfrac{25}{4}\right)\). Для прямой \(y=m\) решаем уравнение \(x^2+x-6=m\). Обычно горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках выше вершины и не пересекает её ниже вершины.

При \(m=-\dfrac{25}{4}\) прямая касается параболы в вершине, поэтому общая точка одна. При \(m=-6\) уравнение даёт \(x=-1\) и \(x=0\); точка при \(x=-1\) выколота, остаётся одна общая точка. При \(m=6\) получаем \(x=-4\) и \(x=3\); точка при \(x=-4\) выколота, остаётся одна общая точка.

Ответ: \(m=-\dfrac{25}{4},\ -6,\ 6\).