6. Постройте на координатной плоскости а) точки А, В, С, D, если А(-4;0), B(1; -2), C(2;4), D(-3;6); б) определите координату точки пересечения прямых АСи BD. 7. Масса одного из контейнеров с раствором в 2 раза больше другого. Когда из первого контейнера отлили 19 л раствора, а во второго долили 8 л, то масса обоих контейнеров стала равной. Определите массу каждого контейнера.

Задание 6. Построение точек и нахождение точки пересечения прямых

а) Построение точек:

Точки строятся на координатной плоскости согласно их координатам:

• A (-4; 0) - на оси абсцисс (x) влево от начала координат на 4 единицы.
• B (1; -2) - вправо от начала координат на 1 единицу и вниз на 2 единицы.
• C (2; 4) - вправо от начала координат на 2 единицы и вверх на 4 единицы.
• D (-3; 6) - влево от начала координат на 3 единицы и вверх на 6 единиц.

Для наглядности, можно использовать SVG для отображения координатной плоскости и точек:

б) Координата точки пересечения прямых AC и BD:

Сначала найдем уравнения прямых AC и BD.

Прямая AC:

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

Для точек A(-4; 0) и C(2; 4):

\[ \frac{y - 0}{4 - 0} = \frac{x - (-4)}{2 - (-4)} \]

\[ \frac{y}{4} = \frac{x + 4}{6} \]

\[ y = \frac{4(x + 4)}{6} = \frac{2(x + 4)}{3} = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} \]

Уравнение прямой AC: \( y = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} \).

Прямая BD:

Для точек B(1; -2) и D(-3; 6):

\[ \frac{y - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{x - 1}{-3 - 1} \]

\[ \frac{y + 2}{8} = \frac{x - 1}{-4} \]

\[ y + 2 = \frac{8(x - 1)}{-4} = -2(x - 1) = -2x + 2 \]

\[ y = -2x + 2 - 2 \]

\[ y = -2x \]

Уравнение прямой BD: \( y = -2x \).

Находим точку пересечения:

Приравниваем уравнения прямых:

\[ \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} = -2x \]

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 2x + 8 = -6x \]

Перенесем члены с x в одну сторону:

\[ 2x + 6x = -8 \]

\[ 8x = -8 \]

\[ x = -1 \]

Теперь найдем y, подставив x = -1 в уравнение прямой BD (или AC):

\[ y = -2x = -2(-1) = 2 \]

Координата точки пересечения прямых AC и BD равна (-1; 2).

Ответ: Координата точки пересечения прямых AC и BD равна (-1; 2).

Задание 7. Определение массы контейнеров

Дано:

• Пусть масса второго контейнера (более тяжелого) равна \( 2m \) кг.
• Тогда масса первого контейнера равна \( m \) кг.
• Из первого контейнера отлили 19 л.
• Во второй контейнер долили 8 л.
• После этих действий массы стали равны.

Найти: массу каждого контейнера.

Решение:

1. После отливания 19 л из первого контейнера, его масса стала: \( m - 19 \) кг.

2. После добавления 8 л во второй контейнер, его масса стала: \( 2m + 8 \) кг.

3. По условию, массы стали равны:

\[ m - 19 = 2m + 8 \]

4. Решим это уравнение относительно \( m \):

\[ m - 2m = 8 + 19 \]

\[ -m = 27 \]

\[ m = -27 \]

Анализ результата: Получилось отрицательное значение массы, что физически невозможно. Давайте перечитаем условие. Предположим, что "масса одного из контейнеров с раствором в 2 раза больше другого" означает, что именно больший контейнер имел массу \( 2m \), а меньший \( m \). Возможно, я неправильно предположил, какой контейнер изначало тяжелее. Давайте попробуем наоборот.

Переформулируем:

Пусть масса первого контейнера равна \( m_1 \) кг, а второго \( m_2 \) кг.

По условию, один в 2 раза больше другого. Допустим, \( m_2 = 2m_1 \). Тогда \( m_1 \) - меньшая масса, \( m_2 \) - большая.

Из первого (меньшего) контейнера отлили 19 л. Масса стала: \( m_1 - 19 \).

Во второй (больший) контейнер долили 8 л. Масса стала: \( m_2 + 8 = 2m_1 + 8 \).

Приравниваем:

\[ m_1 - 19 = 2m_1 + 8 \]

\[ m_1 - 2m_1 = 8 + 19 \]

\[ -m_1 = 27 \]

\[ m_1 = -27 \]

Опять получили отрицательную массу. Это значит, что мой первоначальный подход к интерпретации "отлили" и "долили" относительно того, какой контейнер был тяжелее, неверен.

Давайте попробуем другую трактовку:

Пусть \( x \) - начальная масса первого контейнера, \( y \) - начальная масса второго контейнера.

Условие: \( y = 2x \) (второй контейнер в 2 раза больше первого).

После изменений:

Первый контейнер: \( x - 19 \)

Второй контейнер: \( y + 8 = 2x + 8 \)

Приравниваем:

\[ x - 19 = 2x + 8 \]

\[ x - 2x = 8 + 19 \]

\[ -x = 27 \]

\[ x = -27 \]

Все еще отрицательная масса. Это означает, что в моем предположении о том, какой контейнер был изначально больше, есть ошибка, или условие задачи сформулировано так, что процесс отливания/доливания меняет относительную тяжесть контейнеров.

Новая гипотеза: Возможно, в первом контейнере было меньше раствора, а во втором больше, и после переливания их массы выровнялись. Условие "Масса одного из контейнеров с раствором в 2 раза больше другого" относится к начальному состоянию.

Пусть \( m_1 \) - начальная масса первого контейнера, \( m_2 \) - начальная масса второго.

Мы знаем, что \( m_2 = 2m_1 \) (или \( m_1 = 2m_2 \)).

Случай 1: \( m_2 = 2m_1 \) (второй тяжелее).

Из первого (легкого) отлили 19л: \( m_1 - 19 \).

Во второй (тяжелый) долили 8л: \( m_2 + 8 = 2m_1 + 8 \).

Приравниваем: \( m_1 - 19 = 2m_1 + 8 \) -> \( -m_1 = 27 \) -> \( m_1 = -27 \) (не подходит).

Случай 2: \( m_1 = 2m_2 \) (первый тяжелее).

Из первого (тяжелого) отлили 19л: \( m_1 - 19 = 2m_2 - 19 \).

Во второй (легкий) долили 8л: \( m_2 + 8 \).

Приравниваем:

\[ 2m_2 - 19 = m_2 + 8 \]

\[ 2m_2 - m_2 = 8 + 19 \]

\[ m_2 = 27 \]

Значит, начальная масса второго контейнера \( m_2 = 27 \) л. Это положительное значение, значит, этот вариант подходит.

Теперь найдем начальную массу первого контейнера:

\[ m_1 = 2m_2 = 2 \times 27 = 54 \]

Проверим: Начальная масса первого = 54 л, второго = 27 л. Первый в 2 раза тяжелее.

Отлили 19 л из первого: \( 54 - 19 = 35 \) л.

Долили 8 л во второй: \( 27 + 8 = 35 \) л.

Массы стали равны (35 л).

Ответ: Масса первого контейнера была 54 л, масса второго контейнера была 27 л.