6. Правильный октаэдр — это многогранник, составленный из 8 треугольников с равными сторонами. Октаэдр с ребром 1 разрезали по нескольким рёбрам и развернули на плоскость одним куском так, что грани не перекрываются и никакие две грани не соприкасаются по отрезку, если они не остались склеены по нему. Чему может быть равен периметр развёртки? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Рассмотрим граф, в котором вершины соответствуют граням октаэдра, а рёбра — парам граней, склеенным по общему ребру. Этот граф является подграфом куба — графа, двойственного октаэдру.

Граф склеенных граней связен, поскольку развёртка получилась одним куском. В нём не может быть цикла: при плоской укладке равносторонних треугольников цикл граней должен замкнуться. В графе соседства треугольников в плоскости нет циклов длины 4, а цикл длины 6 образует шесть треугольников вокруг одной точки. Но у октаэдра вокруг каждой вершины сходятся только четыре грани, поэтому такой цикл здесь тоже невозможен. Следовательно, граф склеенных граней — дерево.

У дерева на 8 вершинах ровно 7 рёбер, то есть склеены ровно 7 пар сторон.

Всего у восьми треугольников 24 стороны длины 1. Каждая склеенная пара убирает из внешней границы две стороны. Поэтому периметр равен \(24-2\cdot7=10\).

Ответ: единственный вариант — 10.