6. Правильный шестиугольник вписан B окружность. Известно, что сектор окружности, соответствующий центральному углу при вершине шестиугольника, имеет площадь Зл. Найдите площадь шестиугольника.

Пошаговое решение:

• Центральный угол сектора, соответствующего стороне правильного шестиугольника, равен \( \alpha = 360^{\circ} / 6 = 60^{\circ} \).
• Площадь сектора дана как \( 3\pi \). Используем формулу площади сектора: \( 3\pi = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^2 \)
• Упрощаем: \( 3\pi = \frac{1}{6} \pi r^2 \)
• Отсюда находим радиус в квадрате: \( r^2 = 3\pi \cdot 6 / \pi = 18 \)
• Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей 6 правильных треугольников со стороной, равной радиусу \( r \). Площадь одного такого треугольника равна \( \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \).
• Площадь шестиугольника: \( S_{hex} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \)
• Подставляем \( r^2 = 18 \): \( S_{hex} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18 = \frac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 18}{2} = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 9 = 27 \sqrt{3} \)

Ответ: \( 27\sqrt{3} \)