6. Правильный шестиугольник вписан B окружность. Известно, что сектор окружности, соответствующий центральному углу при вершине шестиугольника, имеет площадь Зл. Найдите площадь шестиугольника.

Решение:

Правильный шестиугольник состоит из 6 одинаковых равносторонних треугольников. Центральный угол при вершине шестиугольника равен \( \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} \).

Площадь сектора вычисляется по формуле: \( S_{сектора} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi R^2 \), где \( \alpha \) — центральный угол, \( R \) — радиус окружности.

По условию, площадь сектора равна \( 3\pi \), а центральный угол составляет \( 60^{\circ} \). Подставим эти значения в формулу:

\[ 3\pi = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi R^2 \]\[ 3\pi = \frac{1}{6} \cdot \pi R^2 \]\[ 18\pi = \pi R^2 \]\[ R^2 = 18 \]\[ R = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Площадь правильного шестиугольника равна площади 6 равносторонних треугольников. Высота равностороннего треугольника, проведенная из вершины к основанию (радиусу), делит его пополам. В данном случае, радиус окружности является стороной равностороннего треугольника, из которого состоит шестиугольник. Однако, сектор, соответствующий центральному углу при вершине шестиугольника, не обязательно является треугольником, если угол дан при вершине шестиугольника, а не в центре окружности.

Переосмыслим условие: «сектор окружности, соответствующий центральному углу при вершине шестиугольника». Это означает, что центральный угол сектора равен центральному углу, который опирается на сторону шестиугольника. Этот угол равен \( 60^{\circ} \).

Итак, \( R^2 = 18 \).

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса \( R \), равна \( S_{шестиугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \).

Подставим найденное значение \( R^2 \):

\[ S_{шестиугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 18 \]\[ S_{шестиугольника} = 3\sqrt{3} \cdot 9 \]\[ S_{шестиугольника} = 27\sqrt{3} \]

Ответ: \( 27\sqrt{3} \).