6. Правильный шестиугольник вписан в окружность. Известно, что сектор окружности, соответствующий центральному углу при вершине шестиугольника, имеет площадь 3π. Найдите площадь шестиугольника.

Решение:

Центральный угол правильного шестиугольника равен: \( \alpha = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} \).

Площадь сектора вычисляется по формуле: \( S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{180^{\circ}} \), где \( R \) — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол в градусах.

По условию, площадь сектора равна \( 3\pi \) и центральный угол равен \( 60^{\circ} \). Подставляем значения в формулу:

\( 3\pi = \frac{\pi R^2 · 60^{\circ}}{180^{\circ}} \)

Упрощаем:

\( 3\pi = \frac{\pi R^2}{3} \)

Теперь найдём \( R^2 \). Умножим обе части на 3 и разделим на \( \pi \):

\( 9\pi = \pi R^2 \)

\( R^2 = 9 \)

Радиус окружности \( R = 3 \).

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле: \( S_{шестиугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \).

Подставляем найденное значение \( R^2 = 9 \):

\( S_{шестиугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{2} · 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( \frac{27\sqrt{3}}{2} \).