Ответ:

  1. Булька проболел шесть недель и выздоровел. Это однородные сказуемые при одном подлежащем.
  2. Один раз мы пошли на охоту за кабанами, и Булька увязался с нами. Однородных членов нет: в частях сложного предложения разные подлежащие — мы и Булька.
  3. Сергей нажал на педаль, и автомобиль плавно двинулся по асфальту. Однородных членов нет: это сложное предложение с разными подлежащими — Сергей и автомобиль.
  4. Наступила весна и оживила всю природу. Это однородные сказуемые при общем подлежащем весна.
  5. Весной с юга прилетели скворцы, грачи, дикие утки. Это однородные подлежащие.