6. Прямая a пересекает плоскость α. Лежит ли в плоскости α хоть одна прямая, параллельная a?

Если бы прямая, лежащая в α, была параллельна a, то её направление должно было бы быть параллельно α. Но прямая a, пересекающая α, не параллельна этой плоскости: её направление имеет составляющую, перпендикулярную плоскости. Поэтому прямая с таким направлением не может целиком лежать в α.

Ответ: нет, в плоскости α нет прямой, параллельной a.