6. Прямая \(a\) проходит через середину отрезка \(AB\) и перпендикулярна к нему. Докажите, что любая точка прямой \(a\) равноудалена от точек \(A\) и \(B\), и каждая точка, равноудалённая от точек \(A\) и \(B\), лежит на прямой \(a\).

Пусть \(O\) — середина отрезка \(AB\), а точка \(C\) принадлежит прямой \(a\). Тогда \(AO=OB\), \(CO\) — общая сторона, а \(\angle AOC=\angle COB=90^\circ\). Следовательно, прямоугольные треугольники \(AOC\) и \(BOC\) равны по двум катетам. Поэтому \(CA=CB\).

Обратно, пусть \(CA=CB\). В равнобедренном треугольнике \(ACB\) медиана \(CO\), проведённая к основанию \(AB\), является также высотой. Значит, \(CO\perp AB\). Через точку \(O\) к прямой \(AB\) можно провести единственную перпендикулярную прямую, поэтому \(C\) лежит на прямой \(a\).

Ответ: прямая \(a\) является серединным перпендикуляром к отрезку \(AB\), то есть множеством всех точек, равноудалённых от \(A\) и \(B\).