6. Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках М и К соответственно, причём МЕ = КЕ. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle M B E \) и \( \triangle K D E \):
• \( \angle MEB = \angle KED \) (вертикальные углы).
• \( MB \) || \( KD \) (стороны AB и CD параллелограмма ABCD параллельны).
• \( \angle EMB = \angle EKD \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей MK).
• \( \angle MBE = \angle KDE \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD).
2. По двум углам и стороне между ними (УСУ), \( \triangle M B E = \triangle K D E \) (поскольку \( ME = KE \) по условию).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( MB = KD \).
4. Так как MB и KD являются отрезками параллельных сторон AB и CD параллелограмма ABCD, то \( MB \) || \( KD \) и \( MB = KD \).
5. Четырёхугольник, у которого одна пара сторон параллельна и равна, является параллелограммом.
6. Следовательно, четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.