6. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 84 км. Это расстояние катер проплывает по течению за 6 часов, а против течения за 8 ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение:

Пусть \( v_k \) — собственная скорость катера (км/ч), а \( v_t \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость катера по течению: \( v_k + v_t \).

Скорость катера против течения: \( v_k - v_t \).

Расстояние равно 84 км.

Время движения по течению: 6 часов.

Время движения против течения: 8 часов.

Используем формулу \( S = v \cdot t \), где \( S \) — расстояние, \( v \) — скорость, \( t \) — время.

1. Составим уравнения на основе данных задачи:
• По течению: \( (v_k + v_t) \cdot 6 = 84 \).
• Против течения: \( (v_k - v_t) \cdot 8 = 84 \).
2. Упростим уравнения:
• \( v_k + v_t = \frac{84}{6} \) \( \Rightarrow v_k + v_t = 14 \).
• \( v_k - v_t = \frac{84}{8} \) \( \Rightarrow v_k - v_t = 10.5 \).
3. Получили систему уравнений:
• \( \begin{cases} v_k + v_t = 14 \\ v_k - v_t = 10.5 \end{cases} \)
4. Сложим два уравнения системы, чтобы найти \( v_k \):
• \( (v_k + v_t) + (v_k - v_t) = 14 + 10.5 \)
• \( 2v_k = 24.5 \)
• \( v_k = \frac{24.5}{2} = 12.25 \) км/ч.
5. Подставим значение \( v_k \) в первое уравнение, чтобы найти \( v_t \):
• \( 12.25 + v_t = 14 \)
• \( v_t = 14 - 12.25 \)
• \( v_t = 1.75 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость катера — 12.25 км/ч, скорость течения реки — 1.75 км/ч.