Ответ:

По — предлог; служит для связи слов, не изменяется, членом предложения не является.

Дороге — имя существительное, начальная форма — дорога; нарицательное, неодушевлённое, женский род, 1-е склонение; употреблено в единственном числе, дательном падеже. В предложении обычно является обстоятельством места, но точную синтаксическую роль без предложения определить нельзя.