Ответ:

Части речи:

По — предлог; коре — имя существительное; старого — имя прилагательное; дерева — имя существительное; стучит — глагол; пёстрый — имя прилагательное; дятел — имя существительное.

Разбор по членам предложения: «дятел» — подлежащее, выражено именем существительным; «стучит» — сказуемое, выражено глаголом. «По коре старого дерева» — обстоятельство места: главное слово «коре», зависимые слова «по», «старого», «дерева». «Пёстрый» — определение к слову «дятел».

Грамматическая основа: дятел стучит.