6. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Точка E — середина ребра A₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью ACE.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), C(4; 4; 0), D(0; 4; 0), A₁(0; 0; 4), D₁(0; 4; 4). Тогда E — середина A₁D₁, поэтому E(0; 2; 4).

Плоскость сечения проходит через точки A, C и E. На верхней грани куба она пересекает ребро D₁C₁ в точке F(2; 4; 4): сечение представляет собой четырёхугольник ACFE. Разобьём его диагональю CE на треугольники ACE и CEF.

Для площади треугольника ACE используем векторы \(\overrightarrow{AC}=(4,4,0)\) и \(\overrightarrow{AE}=(0,2,4)\):

\(S_{ACE}=\frac12\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AE}\right|=\frac12\sqrt{16^2+(-16)^2+8^2}=12.\)

Для треугольника CEF: \(\overrightarrow{CF}=(-2,0,4)\), \(\overrightarrow{CE}=(-4,-2,4)\). Поэтому

\(S_{CEF}=\frac12\left|\overrightarrow{CF}\times\overrightarrow{CE}\right|=\frac12\sqrt{8^2+(-8)^2+4^2}=6.\)

Ответ: площадь сечения равна 18.