6. Реши задачу: в коробке лежат 2 красных и 3 синих шара. Ты случайно вытягиваешь один шар, смотришь его цвет и возвращаешь его обратно в коробку. Затем ты вытягиваешь второй шар. Построй дерево вероятностей для этого эксперимента. Какова вероятность того, что ты вытянешь красный шар в первый раз, а синий шар во второй раз? Какова вероятность того, что ты вытянешь два шара одинакового цвета?

Решение:

1. Построение дерева вероятностей:

Всего шаров в коробке: 2 красных + 3 синих = 5 шаров.

Первый вытягиваемый шар:

• Вероятность вытянуть красный шар (К1): \( P(K1) = \frac{2}{5} \)
• Вероятность вытянуть синий шар (С1): \( P(C1) = \frac{3}{5} \)

Второй вытягиваемый шар (с возвращением):

Так как шар возвращается в коробку, вероятности для второго вытягивания остаются теми же:

• Вероятность вытянуть красный шар (К2): \( P(K2) = \frac{2}{5} \)
• Вероятность вытянуть синий шар (С2): \( P(C2) = \frac{3}{5} \)

Дерево вероятностей будет выглядеть так:

• К1 (вероятность \( \frac{2}{5} \)) → К2 (вероятность \( \frac{2}{5} \))
• К1 (вероятность \( \frac{2}{5} \)) → С2 (вероятность \( \frac{3}{5} \))
• С1 (вероятность \( \frac{3}{5} \)) → К2 (вероятность \( \frac{2}{5} \))
• С1 (вероятность \( \frac{3}{5} \)) → С2 (вероятность \( \frac{3}{5} \))

2. Вероятность вытянуть красный шар в первый раз, а синий шар во второй раз:

Это событие соответствует ветке К1 → С2. Вероятность такого исхода находится перемножением вероятностей на ветвях:

\[ P(K1 \text{ и } C2) = P(K1) \cdot P(C2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{25} \]

3. Вероятность вытянуть два шара одинакового цвета:

Это означает, что мы вытянули либо два красных шара (К1 и К2), либо два синих шара (С1 и С2). Эти два события несовместны, поэтому мы сложим их вероятности:

• Вероятность вытянуть два красных шара: \( P(K1 \text{ и } K2) = P(K1) \cdot P(K2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} \)
• Вероятность вытянуть два синих шара: \( P(C1 \text{ и } C2) = P(C1) \cdot P(C2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \)

Общая вероятность вытянуть два шара одинакового цвета:

\[ P(\text{одинакового цвета}) = P(K1 \text{ и } K2) + P(C1 \text{ и } C2) = \frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25} \]

Ответ:

• Вероятность вытянуть красный шар в первый раз, а синий шар во второй раз равна \( \frac{6}{25} \).
• Вероятность вытянуть два шара одинакового цвета равна \( \frac{13}{25} \).