6. Решите логарифмическое уравнение: $$2\log_3^2 x - 5 \log_3 x + 2 = 0$$.

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \log_3 x \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_3 x \).

1. Уравнение примет вид: \( 2y^2 - 5y + 2 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение для \( y \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]
3. Найдем корни для \( y \): \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \]
4. Теперь сделаем обратную замену \( y = \log_3 x \):
   • \( \log_3 x = 2 \)
   • \( \log_3 x = 0.5 \)
5. Решим каждое логарифмическое уравнение:
   • Из \( \log_3 x = 2 \) следует \( x = 3^2 = 9 \).
   • Из \( \log_3 x = 0.5 \) следует \( x = 3^{0.5} = \sqrt{3} \).
6. Оба корня \( x=9 \) и \( x=\sqrt{3} \) положительны, что необходимо для существования логарифма.

Ответ: $$x=9, x=\sqrt{3}$$.