6. Решите неравенство: б) *log_2^2 x - 3 log_2 x \(\le\) 4

Решение:

1. ОДЗ: \( x > 0 \).
2. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_2 x \).
3. Неравенство примет вид: \( y^2 - 3y \le 4 \).
4. Перенесём всё в одну сторону: \( y^2 - 3y - 4 \le 0 \).
5. Найдём корни квадратного трёхчлена \( y^2 - 3y - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
6. Корни: \( y_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \), \( y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \).
7. Парабола \( f(y) = y^2 - 3y - 4 \) ветвями вверх, поэтому \( y^2 - 3y - 4 \le 0 \) при \( -1 \le y \le 4 \).
8. Подставим обратно \( y = \log_2 x \): \( -1 \le \log_2 x \le 4 \).
9. Применим свойство логарифма (основание \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется): \( 2^{-1} \le x \le 2^4 \).
10. Вычислим степени: \( 1/2 \le x \le 16 \).
11. Учтём ОДЗ \( x > 0 \).
12. Пересечение \( (1/2 \le x \le 16) \) и \( (x > 0) \) даёт \( 1/2 \le x \le 16 \).

Ответ: \( [1/2; 16] \).