6. Решите неравенство \( \log_2(2.5x+1) \leq -2 \)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть два условия:

1. Ограничение для логарифма: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. \( 2.5x + 1 > 0 \)
2. Собственно неравенство: Так как основание логарифма \( 2 \) больше \( 1 \), функция \( \log_2(x) \) возрастает. Поэтому, когда \( \log_2(2.5x+1) \leq -2 \), то \( 2.5x + 1 \leq 2^{-2} \).

Решаем первое условие:

\( 2.5x + 1 > 0 \)
\( 2.5x > -1 \)
\( x > \frac{-1}{2.5} \)
\( x > -0.4 \)

Решаем второе условие:

\( 2.5x + 1 \leq 2^{-2} \)
\( 2.5x + 1 \leq \frac{1}{4} \)
\( 2.5x + 1 \leq 0.25 \)
\( 2.5x \leq 0.25 - 1 \)
\( 2.5x \leq -0.75 \)
\( x \leq \frac{-0.75}{2.5} \)
\( x \leq -0.3 \)

Теперь объединяем оба условия, чтобы найти область допустимых значений \( x \):

\( x > -0.4 \) И \( x \leq -0.3 \)

Получаем интервал: \( -0.4 < x \leq -0.3 \).

Ответ: \( (-0.4; -0.3] \)