6. Решите неравенство log₁ (9-x²) ≥ log₁ (4x + 4), учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{\frac{1}{2}} (9-x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} (4x+4) \) необходимо учесть область определения логарифма и свойство монотонности функции.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   Аргументы логарифмов должны быть положительными:
   \( 9-x^2 > 0 \) \( \Rightarrow -3 < x < 3 \)
   \( 4x+4 > 0 \) \( \Rightarrow x > -1 \)
   Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( -1 < x < 3 \).
2. Решим само неравенство, учитывая основание логарифма:
   Основание логарифма \( \frac{1}{2} \) меньше 1, поэтому функция \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) является убывающей. При решении неравенства знаки нужно поменять на противоположные:
   \[ 9-x^2 \le 4x+4 \]
   \[ -x^2 - 4x + 5 \le 0 \]
   \[ x^2 + 4x - 5 \ge 0 \]
3. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 4x - 5 = 0 \):
   Используем теорему Виета или дискриминант.
   По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -4 \), \( x_1 \cdot x_2 = -5 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -5 \).
4. Решим квадратное неравенство \( x^2 + 4x - 5 \ge 0 \):
   Парабола \( y = x^2 + 4x - 5 \) ветвями вверх, корни 1 и -5. Неравенство \( \ge 0 \) выполняется вне корней:
   \[ x \le -5 \quad \text{или} \quad x \≥ 1 \]
5. Пересечем решение неравенства с ОДЗ:
   ОДЗ: \( -1 < x < 3 \)
   Решение неравенства: \( x \le -5 \quad \text{или} \quad x \u2265 1 \)
   Область пересечения: \( 1 \le x < 3 \).

Ответ: \( [1; 3) \).