6. Решите систему: (6(13 + 2x) + y = 4x + 3y; 4(2x + 3y) = x + 3(2y – 15).

Задание 6. Решение системы уравнений

У нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} 6(13 + 2x) + y = 4x + 3y \\ 4(2x + 3y) = x + 3(2y – 15) \end{cases} \]

Шаг 1: Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

\[ 6(13 + 2x) + y = 4x + 3y \]

Раскроем скобки:

\[ 78 + 12x + y = 4x + 3y \]

Перенесем все переменные в левую часть, а константы – в правую:

\[ 12x - 4x + y - 3y = -78 \]

\[ 8x - 2y = -78 \]

Разделим на 2 для упрощения:

\[ 4x - y = -39 \] (Упрощенное первое уравнение)

Второе уравнение:

\[ 4(2x + 3y) = x + 3(2y – 15) \]

Раскроем скобки:

\[ 8x + 12y = x + 6y - 45 \]

Перенесем все переменные в левую часть, а константы – в правую:

\[ 8x - x + 12y - 6y = -45 \]

\[ 7x + 6y = -45 \] (Упрощенное второе уравнение)

Шаг 2: Решим полученную систему.

У нас система:

\[ \begin{cases} 4x - y = -39 \\ 7x + 6y = -45 \end{cases} \]

Удобно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим \( y \):

\[ y = 4x + 39 \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 7x + 6(4x + 39) = -45 \]

Раскроем скобки:

\[ 7x + 24x + 234 = -45 \]

\[ 31x = -45 - 234 \]

\[ 31x = -279 \]

Найдем \( x \):

\[ x = \frac{-279}{31} \]

\[ x = -9 \]

Шаг 3: Найдем значение второй переменной.

Подставим \( x = -9 \) в выражение для \( y \):

\[ y = 4(-9) + 39 \]

\[ y = -36 + 39 \]

\[ y = 3 \]

Проверка:
Подставим \( x = -9 \) и \( y = 3 \) в упрощенные уравнения.

Первое: \( 4(-9) - 3 = -36 - 3 = -39 \) (Верно)

Второе: \( 7(-9) + 6(3) = -63 + 18 = -45 \) (Верно)

Ответ: x = -9, y = 3.