6) Решите уравнение:

Решение:

Уравнение: \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Это табличное значение синуса. Значения \( x \), при которых \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), находятся в первой и второй четвертях.

1. Основное значение в первой четверти: \( x = \frac{\pi}{4} \).
2. Значение во второй четверти: \( x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).
3. Так как синус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), общее решение уравнения имеет вид:
   \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]или
   \[ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \]где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), \( k ∈ ℤ \).