6. Решите уравнение: 2\(\sqrt{x+5}\)=x+2

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (2\sqrt{x+5})^2 = (x+2)^2 \)

\( 4(x+5) = x^2 + 4x + 4 \)

\( 4x + 20 = x^2 + 4x + 4 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^2 + 4x + 4 - 4x - 20 = 0 \)

\( x^2 - 16 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение:

\( x^2 = 16 \)

\( x = \pm 4 \)

Проверим полученные корни в исходном уравнении:

Для \( x = 4 \):

\( 2\sqrt{4+5} = 4+2 \)

\( 2\sqrt{9} = 6 \)

\( 2 \cdot 3 = 6 \)

\( 6 = 6 \) (Верно)

Для \( x = -4 \):

\( 2\sqrt{-4+5} = -4+2 \)

\( 2\sqrt{1} = -2 \)

\( 2 \cdot 1 = -2 \)

\( 2 = -2 \) (Неверно)

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: x = 4.