6. Решите уравнение $\log_2(2x)=\frac{5}{\log_2\frac{x}{8}}$. Найдите область допустимых значений, примените свойства логарифмов, введите обозначение $\log_2 x=y$, решите полученное квадратное уравнение и запишите корни.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Решите уравнение $\log_2(2x)=\frac{5}{\log_2\frac{x}{8}}$. Найдите область допустимых значений, примените свойства…$ Фото задания

6. Решите уравнение $\log_2(2x)=\frac{5}{\log_2\frac{x}{8}}$. Найдите область допустимых значений, примените свойства логарифмов, введите обозначение $\log_2 x=y$, решите полученное квадратное уравнение и запишите корни.

Accepted Answer

ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2x>0$, откуда $x>0$; кроме того, $\log_2\frac{x}{8}\ne0$, значит $\frac{x}{8}\ne1$, то есть $x\ne8$. Итак, ОДЗ: $x>0,\ x\ne8$.

Применяем свойства логарифмов:

\[\log_2(2x)=\log_2 2+\log_2 x=1+\log_2 x,\qquad \log_2\frac{x}{8}=\log_2 x-\log_2 8=\log_2 x-3.\]

Обозначим $y=\log_2 x$. Тогда

\[y+1=\frac{5}{y-3},\qquad y\ne3.\]

Умножаем на $y-3$ и приводим к квадратному уравнению:

\[(y+1)(y-3)=5,\qquad y^2-2y-8=0.\]

Разложим на множители: $(y-4)(y+2)=0$, поэтому $y=4$ или $y=-2$. Оба значения удовлетворяют условию $y\ne3$.

Возвращаемся к переменной $x$: при $\log_2x=4$ получаем $x=2^4=16$; при $\log_2x=-2$ получаем $x=2^{-2}=\frac14$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $x=16;\ \frac14$.