6. Решите уравнение log2(x/6) = log0,5(x+1). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение:

Для решения уравнения \( \log_2{\frac{x}{6}} = \log_{0,5}(x+1) \) преобразуем его так, чтобы основания логарифмов были одинаковыми.

Заметим, что \( 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Следовательно, \( \log_{0,5}(x+1) = \log_{2^{-1}}(x+1) = -\log_2(x+1) \).

Теперь уравнение примет вид:

\[ \log_2{\frac{x}{6}} = -\log_2(x+1) \]

Используя свойства логарифмов, перенесём минус:

\[ \log_2{\frac{x}{6}} = \log_2((x+1)^{-1}) \]

\[ \log_2{\frac{x}{6}} = \log_2{\frac{1}{x+1}} \]

Приравниваем аргументы логарифмов:

\[ \frac{x}{6} = \frac{1}{x+1} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ x(x+1) = 6 \]

\[ x^2 + x = 6 \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь проверим найденные корни на соответствие области определения исходного уравнения.

Для \( \log_2{\frac{x}{6}} \) необходимо, чтобы \( \frac{x}{6} > 0 \), что означает \( x > 0 \).

Для \( \log_{0,5}(x+1) \) необходимо, чтобы \( x+1 > 0 \), что означает \( x > -1 \).

Оба условия выполняются, если \( x > 0 \).

Проверяем корни:

Корень \( x_1 = 2 \) удовлетворяет условию \( x > 0 \).

Корень \( x_2 = -3 \) не удовлетворяет условию \( x > 0 \), так как \( -3 \not> 0 \).

Таким образом, уравнение имеет только один корень: \( x = 2 \).

Так как уравнение имеет только один корень, мы записываем его в ответ.

Ответ: 2.