6. Решите уравнение: x / (x-5) + (3x+15) / (x^2-25) = 0.

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Это не так сложно, как кажется.

1. Приводим к общему знаменателю:

   Заметим, что x^2 - 25 — это разность квадратов, которую можно разложить как (x-5)(x+5).

   Теперь наше уравнение выглядит так:

   \[ \frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0 \]

   Чтобы привести к общему знаменателю (x-5)(x+5), первую дробь умножим на (x+5):

   \[ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0 \]

   \[ \frac{x^2 + 5x + 3x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0 \]

   \[ \frac{x^2 + 8x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0 \]

2. Находим корни числителя:

   Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

   Приравниваем числитель к нулю:

   \[ x^2 + 8x + 15 = 0 \]

   Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, например, с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4 \]

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

3. Проверяем знаменатель:

   Знаменатель не должен быть равен нулю. То есть x ≠ 5 и x ≠ -5.

   Из полученных корней x_1 = -3 и x_2 = -5, значение x = -5 не подходит, так как оно обнуляет знаменатель.

Ответ: x = -3