6. Решите уравнение x² + y² + 4x - 8y + 20 = 0.

Решение:

Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты для \( x \) и \( y \).

Сгруппируем члены с \( x \) и \( y \) отдельно:

\( (x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) + 20 = 0 \)

Для \( x^2 + 4x \) нам не хватает \( (\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4 \) для полного квадрата \( (x+2)^2 \).

Для \( y^2 - 8y \) нам не хватает \( (\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16 \) для полного квадрата \( (y-4)^2 \).

Перепишем уравнение, добавив и вычтя необходимые числа:

\( (x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 20 = 0 \)

Теперь выделим полные квадраты:

\( (x + 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + 20 = 0 \)

Сложим константы:

\( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 - 20 + 20 = 0 \)

\( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 0 \)

Сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю, так как квадраты неотрицательны.

\( (x + 2)^2 = 0 \) и \( (y - 4)^2 = 0 \)

Из этого следует:

\( x + 2 = 0 → x = -2 \)

\( y - 4 = 0 → y = 4 \)

Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: x = -2, y = 4.