6. Решите задачу и напишите решение: Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=10, CK=17.

Дано:

• ABCD — параллелограмм.
• АК — биссектриса ∠А.
• Точка К лежит на стороне ВС.
• ВК = 10.
• СК = 17.

Найти: Периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

1. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, BC = AD). Противоположные углы равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (∠A + ∠B = 180°).
2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
3. Рассмотрим биссектрису АК: Так как АК — биссектриса ∠А, то ∠BAK = ∠DAK.
4. Параллельность сторон: Стороны AD и BC параллельны (AD || BC).
5. Равенство углов: Рассмотрим секущую АК, пересекающую параллельные прямые AD и BC. Тогда ∠DAK = ∠AKB (как накрест лежащие углы).
6. Сопоставление углов: Мы знаем, что ∠BAK = ∠DAK и ∠DAK = ∠AKB. Следовательно, ∠BAK = ∠AKB.
7. Треугольник ABK: В треугольнике ABK углы ∠BAK и ∠AKB равны. Это значит, что треугольник ABK — равнобедренный.
8. Стороны равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике ABK стороны, лежащие напротив равных углов, равны. То есть AB = BK.
9. Значение сторон: По условию, ВК = 10. Следовательно, AB = 10.
10. Длина стороны BC: Сторона BC состоит из отрезков ВК и СК. BC = ВК + СК = 10 + 17 = 27.
11. Периметр параллелограмма: Периметр параллелограмма вычисляется по формуле P = 2 * (a + b), где a и b — длины смежных сторон. В нашем случае, a = AB = 10 и b = BC = 27.
12. Вычисление периметра: P = 2 * (10 + 27) = 2 * 37 = 74.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 74.