6. Решите задачу. Ответ представьте в виде несократимой обыкновенной дроби. Если ответ получится отрицательным, то минус запишите в числитель дроби. Даны координаты точек: D (8; 8; 6), E (6; 4; 2), G (10; 2; −2). Найдите косинус угла E треугольника DEG.

Найдём векторы, образующие угол при вершине E: \(\overrightarrow{ED}=(8-6;\,8-4;\,6-2)=(2;4;4)\), \(\overrightarrow{EG}=(10-6;\,2-4;\,-2-2)=(4;-2;-4)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EG}=2\cdot4+4\cdot(-2)+4\cdot(-4)=-16\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{ED}|=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=6\), \(|\overrightarrow{EG}|=\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}=6\).

По формуле косинуса угла между векторами \(\cos\angle E=\frac{\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{ED}|\,|\overrightarrow{EG}|}=\frac{-16}{36}=-\frac{4}{9}\).

Ответ: числитель −4, знаменатель 9.