6. Решите задачу: Пешеход спускался со скоростью 4 км/ч, а затем поднимался в горку со скоростью 3 км/ч. Найдите общий путь, проделанный пешеходом, если спуск был на 5 км длиннее подъёма, а затраченное на весь путь время равно 3 ч.

Привет! Давай разберём эту задачку вместе.

Дано:

• Скорость спуска: \(v_1 = 4\) км/ч
• Скорость подъёма: \(v_2 = 3\) км/ч
• Разница в расстоянии: \(s_1 - s_2 = 5\) км (спуск длиннее подъёма)
• Общее время в пути: \(T = 3\) ч

Найти:

• Общий путь: \(S_{общ}\)

Решение:

Пусть \(s_2\) — расстояние, которое прошёл пешеход в гору (подъём), а \(s_1\) — расстояние, которое он спускался. По условию, спуск был на 5 км длиннее подъёма, значит:

\[ s_1 = s_2 + 5 \]

Время, затраченное на спуск, найдём по формуле \(t_1 = \frac{s_1}{v_1}\), а время на подъём — \(t_2 = \frac{s_2}{v_2}\). Общее время в пути — это сумма времени спуска и подъёма:

\[ t_1 + t_2 = T \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{s_1}{4} + \frac{s_2}{3} = 3 \]

Теперь заменим \(s_1\) на \(s_2 + 5\):

\[ \frac{s_2 + 5}{4} + \frac{s_2}{3} = 3 \]

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на общий знаменатель — 12:

\[ 12 \times \frac{s_2 + 5}{4} + 12 \times \frac{s_2}{3} = 12 \times 3 \]

\[ 3(s_2 + 5) + 4s_2 = 36 \]

Раскроем скобки:

\[ 3s_2 + 15 + 4s_2 = 36 \]

Сложим \(s_2\):

\[ 7s_2 + 15 = 36 \]

Перенесём 15 в правую часть:

\[ 7s_2 = 36 - 15 \]

\[ 7s_2 = 21 \]

Найдем \(s_2\):

\[ s_2 = \frac{21}{7} \]

\[ s_2 = 3 \text{ км} \]

Теперь найдём \(s_1\):

\[ s_1 = s_2 + 5 = 3 + 5 \]

\[ s_1 = 8 \text{ км} \]

Общий путь — это сумма расстояний спуска и подъёма:

\[ S_{общ} = s_1 + s_2 \]

\[ S_{общ} = 8 + 3 \]

\[ S_{общ} = 11 \text{ км} \]

Проверка:

Время спуска: \(t_1 = \frac{8}{4} = 2\) часа.

Время подъёма: \(t_2 = \frac{3}{3} = 1\) час.

Общее время: \(2 + 1 = 3\) часа. Всё сходится!

Ответ: 11 км.