6) Рис. 4.24. Найти: ∠A, ∠B, ∠C.

Дано:

• В треугольнике ABC проведена биссектриса BD.
• \[ \angle ABD = 20^{\circ} \]
• AB = BC (обозначено одинаковыми штрихами)

Найти:

• \[ \angle A, \angle B, \angle C \]

Решение:

1. Треугольник ABC - равнобедренный, так как AB = BC. Следовательно, углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle BCA \]
2. BD - биссектриса угла B. Это значит, что она делит угол B на два равных угла: \[ \angle ABD = \angle DBC \]
3. По условию \[ \angle ABD = 20^{\circ} \]. Следовательно, \[ \angle DBC = 20^{\circ} \].
4. Находим угол B (полностью): \[ \angle B = \angle ABD + \angle DBC = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ} \]
5. Находим углы A и C: В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны: \[ \angle A = \angle C \].
6. Сумма углов треугольника равна 180°. \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]
7. Заменим \[ \angle C \] на \[ \angle A \] и \[ \angle B \] на 40°: \[ \angle A + 40^{\circ} + \angle A = 180^{\circ} \]
8. \[ 2\angle A + 40^{\circ} = 180^{\circ} \]
9. \[ 2\angle A = 180^{\circ} - 40^{\circ} \]
10. \[ 2\angle A = 140^{\circ} \]
11. \[ \angle A = \frac{140^{\circ}}{2} \]
12. \[ \angle A = 70^{\circ} \]
13. Так как \[ \angle A = \angle C \], то \[ \angle C = 70^{\circ} \].
14. Проверка: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 70^{\circ} + 40^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ} \]

Ответ: ∠A = 70°, ∠B = 40°, ∠C = 70°.