6. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

Утверждение. Любой вектор \(\vec{a}\) на координатной плоскости можно единственным образом представить в виде \(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\), где \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) — координатные векторы, а \(x\) и \(y\) — числа, являющиеся координатами вектора \(\vec{a}\).

Доказательство. Отложим вектор \(\vec{a}\) от начала координат и обозначим его конец через \(A(x;y)\). Проведём через точку \(A\) прямые, параллельные координатным осям. По правилу сложения векторов вектор из начала координат в точку \(A\) равен сумме векторов вдоль этих направлений. Их длины с учётом направления задаются координатами \(x\) и \(y\), поэтому \(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\).

Координаты конца \(A\) определены однозначно, значит, числа \(x\) и \(y\) и соответствующее разложение также единственны.