6. Ширина прямоугольника вдвое меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину на 2 см, то площадь увеличится на 77 см². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Обозначим ширину через \(x\) см. Тогда длина равна \(2x\) см.

После увеличения ширины и длины получаем стороны \(x+3\) см и \(2x+2\) см. Составим уравнение по условию об увеличении площади:

\((x+3)(2x+2)-2x^2=77\).

Раскроем скобки и упростим:

\(2x^2+8x+6-2x^2=77\),

\(8x=71\), поэтому \(x=\frac{71}{8}=8.875\) см.

Длина: \(2x=17.75\) см. Проверка: \((8.875+3)(17.75+2)-8.875\cdot17.75=77\) см².

Ответ: ширина — 8,875 см, длина — 17,75 см.