6. \(\sin 2x+\cos 2x=-\sqrt2\). Найдите корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]\).

Используем формулу сложения: \(\sin 2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\).

Тогда

\[\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2,\]

\[\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1.\]

Следовательно,

\[2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]

Отсюда

\[2x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\qquad x=-\frac{3\pi}{8}+\pi k.\]

Отберём корни на отрезке \(\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]\):

\[-\pi\leq -\frac{3\pi}{8}+\pi k\leq\frac{\pi}{2}.\]

Этому условию удовлетворяет только \(k=0\).

Ответ: \(x=-\frac{3\pi}{8}\).