6) sin \(\alpha\) и tg \(\alpha\), если cos \(\alpha\) = 2/3

Решение:

• Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
• Подставляем известное значение \( \cos\alpha \): \( \sin^2\alpha + (2/3)^2 = 1 \).
• Вычисляем: \( \sin^2\alpha + 4/9 = 1 \).
• Находим \( \sin^2\alpha \): \( \sin^2\alpha = 1 - 4/9 = 5/9 \).
• Находим \( \sin\alpha \): \( \sin\alpha = \pm\sqrt{5/9} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} \).
• Находим \( \operatorname{tg}\alpha \) по формуле \( \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \).
• При \( \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \): \( \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
• При \( \sin\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \): \( \operatorname{tg}\alpha = \frac{-\sqrt{5}/3}{2/3} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \).

Ответ: \( \sin\alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} \), \( \operatorname{tg}\alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{2} \)