6. Системы уравнений с двумя переменными. Решите системы: а) \(\begin{cases}2x+y=7,\\x-y=2;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}y=x+1,\\x^2+y^2=5;\end{cases}\) а) \(\begin{cases}x-y=3,\\x^2-y^2=15;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}xy=6,\\x+y=5.\end{cases}\)

Первый набор систем

а) Сложим уравнения, чтобы исключить \(y\): \(3x=9\), поэтому \(x=3\). Подставим во второе уравнение: \(3-y=2\), откуда \(y=1\).

Ответ: \((x;y)=(3;1)\).

б) Подставим \(y=x+1\) во второе уравнение: \(x^2+(x+1)^2=5\). Раскроем скобки и упростим: \(2x^2+2x-4=0\), то есть \((x+2)(x-1)=0\). Значит, \(x=-2\) или \(x=1\). По формуле \(y=x+1\) получаем соответственно \(y=-1\) и \(y=2\).

Ответ: \((x;y)=(-2;-1)\) или \((1;2)\).

Второй набор систем

а) Используем разность квадратов: \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). По первому уравнению \(x-y=3\), поэтому \(3(x+y)=15\), откуда \(x+y=5\). Решая систему \(x-y=3\), \(x+y=5\), получаем \(x=4\), \(y=1\).

Ответ: \((x;y)=(4;1)\).

б) Из уравнения \(x+y=5\) выразим \(y=5-x\) и подставим в \(xy=6\): \(x(5-x)=6\), или \(x^2-5x+6=0\). Разложим на множители: \((x-2)(x-3)=0\). Значит, пары значений переменных — \((2;3)\) и \((3;2)\).

Ответ: \((x;y)=(2;3)\) или \((3;2)\).