6. Сколькими способами могут разместиться 3 пассажира в 5-местной лодке?

Решение:

Эта задача сводится к выбору 3 мест из 5 для пассажиров, при этом порядок посадки не имеет значения. Для решения используем формулу сочетаний из n по k: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n \) — общее количество мест, а \( k \) — количество пассажиров.

В нашем случае \( n=5 \) (количество мест в лодке) и \( k=3 \) (количество пассажиров).

1. Подставляем значения в формулу: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \]
2. Рассчитываем факториалы: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \), \( 2! = 2 \times 1 = 2 \).
3. Вычисляем: \[ C_5^3 = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

Таким образом, 3 пассажира могут разместиться в 5-местной лодке 10 способами.

Ответ: 10 способов.