№ 6. Сколько существует пар натуральных чисел \((a; b)\), для которых одновременно НОД\((a; b)=12\) и НОК\((a; b)=27720\)? Пары \((a; b)\) и \((b; a)\) при \(a\ne b\) считаются различными.

Пусть \(a=12x\), \(b=12y\). Тогда \(\text{НОД}(x;y)=1\), а из формулы \(\text{НОД}(a;b)\cdot\text{НОК}(a;b)=ab\) следует:

\(ab=12\cdot27720\), поэтому \(144xy=12\cdot27720\) и \(xy=2310\).

Разложим произведение на простые множители: \(2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\). Чтобы \(x\) и \(y\) были взаимно просты, каждый из этих пяти различных простых множителей нужно целиком отнести либо к \(x\), либо к \(y\). Для каждого множителя есть два выбора, значит, число упорядоченных пар равно \(2^5=32\). Порядок важен, как и указано в условии.

Ответ: 32 пары.