6.* Света загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 11, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Света, если известно, что загаданное число больше 170, но меньше 200?

Решение:

Обозначим загаданное число как \( N \). По условию, при делении \( N \) на 11, получаем частное \( q \) и остаток \( r \).

По определению деления с остатком, \( N = 11q + r \), где \( 0 \le r < 11 \).

По условию задачи: \( r = \frac{q}{2} \).

Подставим это в первое уравнение: \( N = 11q + \frac{q}{2} \).

Упростим: \( N = \frac{22q + q}{2} = \frac{23q}{2} \).

Так как \( r = \frac{q}{2} \) и \( r \) — целый остаток, то \( q \) должно быть чётным числом. Пусть \( q = 2k \), где \( k \) — целое число.

Тогда \( N = \frac{23 \times 2k}{2} = 23k \).

Также, \( r = \frac{q}{2} = \frac{2k}{2} = k \).

Условие \( 0 \le r < 11 \) становится \( 0 \le k < 11 \).

Теперь подставим \( N = 23k \) в условие, что число больше 170, но меньше 200:

\( 170 < 23k < 200 \)

Разделим все части неравенства на 23:

\( \frac{170}{23} < k < \frac{200}{23} \)

\( 7.39... < k < 8.69... \)

Так как \( k \) — целое число, то \( k = 8 \).

Теперь найдём загаданное число \( N \): \( N = 23k = 23 \times 8 = 184 \).

Проверим: \( 184 : 11 = 16 \) (частное) и \( 8 \) (остаток).

Остаток \( 8 \) в 2 раза меньше частного \( 16 \) (\( 8 = 16/2 \)). Число 184 больше 170 и меньше 200.

Ответ: 184.