№ 6. Тимур отметил на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между точками принимают значения, кратные 3. Кроме того, не менее пяти расстояний между отмеченными точками делятся на 8 без остатка. Какое наименьшее количество точек мог отметить Тимур? Какое наименьшее расстояние могло быть между самыми далёкими точками (точек не обязательно наименьшее количество)?

Все расстояния, кратные 3 и 8 одновременно, кратны 24.

Чтобы получить не менее пяти расстояний, делящихся на 8, достаточно четырёх точек: между четырьмя точками имеется шесть пар. Например, точки с координатами 0, 24, 48 и 72 дают шесть таких расстояний. Трёх точек недостаточно, поскольку между ними только три пары.

Для наименьшего расстояния между крайними точками рассмотрим расстояния, делящиеся на 8. Каждое из них не меньше 24. При размахе меньше 72 на прямой может поместиться не более трёх точек, попарные расстояния между которыми делятся на 24: такие точки должны лежать в одном классе координат по модулю 24, а соседние различаться как минимум на 24. Поэтому получить пять подходящих пар нельзя.

Размах 72 достижим: можно отметить точки 0, 24, 48 и 72. Тогда расстояния между парами точек равны 24, 48, 72, 24, 48 и 24 — все шесть делятся на 8.

Ответ: наименьшее количество точек — 4; наименьшее расстояние между самыми далёкими точками — 72.