6. Тип 15 № 349385. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 50, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 8√39. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим второй катет BC через x. Тогда гипотенуза AB равна √(50² + x²), а площадь треугольника можно выразить двумя способами:

50x / 2 = AB · CH / 2, поэтому 50x / √(2500 + x²) = 8√39.

Возведём обе части в квадрат и найдём x²:

2500x² / (2500 + x²) = 2496;
2500x² = 2496(2500 + x²);
4x² = 6 240 000;
x² = 1 560 000.

Тогда AB² = 2500 + 1 560 000 = 1 562 500, следовательно, AB = 1250.

Синус угла B равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB:

Ответ: sin ∠ABC = 50 / 1250 = 1/25.