6. Тип 16 № 1333 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 56 см, а периметр треугольника АВМ равен 42 см.

Краткая запись:

• Треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC.
• AM — медиана.
• Периметр (P) треугольника ABC: 56 см
• Периметр (P) треугольника ABM: 42 см
• Найти: Длина медианы AM — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем формулы периметров.
   Периметр треугольника ABC: AB + AC + BC = 56 см.
   Периметр треугольника ABM: AB + BM + AM = 42 см.
2. Шаг 2: Воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.
   Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC.
   Медиана AM делит основание BC пополам, значит, BM = MC = \( \frac{BC}{2} \).
3. Шаг 3: Выразим BC через периметр ABC.
   AB + AC + BC = 56.
   Так как AB = AC, то \( 2 AB + BC = 56 \).
4. Шаг 4: Выразим BC через периметр ABM.
   AB + BM + AM = 42.
   Заменим BM на \( \frac{BC}{2} \): \( AB + \frac{BC}{2} + AM = 42 \).
5. Шаг 5: Найдем разницу периметров.
   (AB + AC + BC) - (AB + BM + AM) = 56 - 42.
   Подставим AB = AC и BM = \( \frac{BC}{2} \):
   (AB + AB + BC) - (AB + \( \frac{BC}{2} \) + AM) = 14.
   \( 2 AB + BC - AB - \frac{BC}{2} - AM = 14 \).
   \( AB + \frac{BC}{2} - AM = 14 \).
6. Шаг 6: Используем соотношение сторон в равнобедренном треугольнике.
   Из периметра ABC: \( 2 AB + BC = 56 \).
   Из периметра ABM: \( AB + \frac{BC}{2} + AM = 42 \).
   Умножим второе уравнение на 2: \( 2 AB + BC + 2 AM = 84 \).
   Теперь вычтем из этого уравнения первое уравнение:
   (\( 2 AB + BC + 2 AM \)) - (\( 2 AB + BC \)) = 84 - 56.
   \( 2 AM = 28 \).
7. Шаг 7: Находим длину медианы AM.
   \( AM = \frac{28}{2} \)
   \( AM = 14 \) см.

Ответ: 14 см