6. Тип 4 № 18074 Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв К, Л, М, Н, П, Р решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв К, Л, Н использовали соответственно кодовые слова 00, 01, 100, 110. Укажите кратчайшее возможное кодовое слово для буквы П, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением. Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы найти кратчайшее возможное кодовое слово для буквы 'П' в двоичном коде, который удовлетворяет условию Фано. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является префиксом другого.

Нам даны следующие кодовые слова:

• К: 00
• Л: 01
• Н: 100
• Р: 110

Сначала построим префиксное дерево для известных кодов, чтобы определить, какие двоичные последовательности уже заняты или являются префиксами существующих кодов.

      (root)
      /   \
     0     1
    /     / \
   0     0   1
  /     /     \
 К(00) Л(01)  0       1
            /       / \
           0       0   0
          /       /     \
         Н(100)  Р(110)  (свободно)

Исходя из дерева, мы видим, что:

• Коды, начинающиеся с '0', уже заняты ('00' для К, '01' для Л). Любой новый код, начинающийся с '0', будет либо префиксом, либо будет иметь префикс.
• Код '100' для Н и '110' для Р.

Теперь нам нужно найти кратчайшее возможное кодовое слово для буквы 'П', которое не является префиксом существующих кодов и не имеет префикса из существующих кодов.

Рассмотрим возможные кратчайшие двоичные коды:

• '0' - префикс '00' (К) и '01' (Л)
• '1' - префикс '100' (Н) и '110' (Р)
• '00' - занято (К)
• '01' - занято (Л)
• '10' - префикс '100' (Н)
• '11' - префикс '110' (Р)
• '000' - префикс '00' (К)
• '001' - префикс '00' (К)
• '010' - префикс '01' (Л)
• '011' - префикс '01' (Л)
• '100' - занято (Н)
• '101' - свободно (не является префиксом и не имеет префикса из существующих кодов)
• '110' - занято (Р)
• '111' - свободно (не является префиксом и не имеет префикса из существующих кодов)

Среди свободных кодов, которые удовлетворяют условию Фано, есть '101' и '111'. Так как нам нужно указать кратчайшее возможное кодовое слово, а если таких несколько, то с наименьшим числовым значением, выбираем '101'.

Проверка:

• К: 00
• Л: 01
• Н: 100
• П: 101
• Р: 110

Ни одно из этих слов не является префиксом другого. Код '101' имеет длину 3, что является наименьшей возможной длиной для свободного кода после существующих.

Ответ: 101