6. Точки М и Н делят окружность с центром О на дуги МРН и МАН так, что дуга МАН на 90° меньше дуги МРН. МР - диаметр окружности. Найдите углы МАР, МРН, МАН.

Анализ:

У нас есть окружность с центром О, на которой отмечены точки М и Н. Эти точки делят окружность на две дуги: МРН и МАН. Известно, что дуга МАН на 90° меньше дуги МРН. МР — это диаметр окружности. Нам нужно найти углы ∠MAP, ∠MRN, ∠MAN.

1. Обозначение дуг:

Вся окружность составляет 360°.

Пусть градусная мера дуги МАН равна x.

Тогда градусная мера дуги МРН равна x + 90°.

Сумма этих дуг равна 360°:

x + (x + 90°) = 360°

2x + 90° = 360°

2x = 360° - 90°

2x = 270°

x = 270° / 2

x = 135°.

Итак:

Дуга МАН = 135°.

Дуга МРН = 135° + 90° = 225°.

Проверка: 135° + 225° = 360°.

2. Находим углы:

Угол ∠MAP:

Угол ∠MAP — это вписанный угол, опирающийся на дугу МР. Поскольку МР — диаметр, дуга МР составляет 180°.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∠MAP = (1/2) * дуга МР

∠MAP = (1/2) * 180° = 90°.

Угол ∠MRN:

Угол ∠MRN — это вписанный угол, опирающийся на дугу MN. Дуга MN состоит из дуги MAN. Градусная мера дуги MN = дуга MAN = 135°.

∠MRN = (1/2) * дуга MN

∠MRN = (1/2) * 135° = 67.5°.

Угол ∠MAN:

Угол ∠MAN — это центральный угол, опирающийся на дугу MN. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

∠MAN = дуга MN

∠MAN = 135°.

Ответ:

∠MAP = 90°

∠MRN = 67.5°

∠MAN = 135°