6. Треугольник ARE - равнобедренный с основанием АБ. Его периметр равен 64 см, ВЕ - 20 см. Найдите длину отрезка ВМ (М - точка касания вписанной окружности со стороной ВЕ).

Решение:

1. Найдём длину боковой стороны.

Треугольник ARE равнобедренный с основанием АБ. Периметр равен \( P = AB + AR + RE \). Так как \( AR = RE \), то \( P = AB + 2AR \). Нам известно, что \( P = 64 \) см и \( AB = 20 \) см. Подставим известные значения: \( 64 = 20 + 2AR \). Отсюда \( 2AR = 64 - 20 \), \( 2AR = 44 \), \( AR = 22 \) см. Следовательно, \( RE = 22 \) см.

2. Найдём длину отрезка ВМ.

В равнобедренном треугольнике ARE, проведённый из вершины A к основанию AB, является высотой, медианой и биссектрисой. Точка M — точка касания вписанной окружности со стороной ARE. Радиус вписанной окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. В равнобедренном треугольнике точка касания стороны ARE лежит на середине этой стороны. Следовательно, \( BM = ME \).

В равнобедренном треугольнике, отрезок BM является касательной к вписанной окружности, а значит, он равен полуразности боковой стороны и основания: \( BM = \frac{AR - AB}{2} \). Подставим значения: \( BM = \frac{22 - 20}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см.

Ответ: ВМ = 1 см.