6. Треугольник АВС - равнобедренный. АС - основание, ВМ - биссектриса. Докажи, что \( \triangle ABM = \triangle CBM \).

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание, \( BM \) — биссектриса.

Доказать: \( \triangle ABM = \triangle CBM \).

Доказательство:

1. По условию \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \). Следовательно, \( AB = BC \).
2. \( BM \) — биссектриса, проведенная к основанию \( AC \) в равнобедренном треугольнике. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
3. Следовательно, \( AM = MC \) ( \( BM \) — медиана) и \( BM \perp AC \) ( \( BM \) — высота), что означает \( \angle AMB = \angle CMB = 90^{\circ} \).
4. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \):
• \( AB = BC \) (по стороне, по условию)
• \( AM = MC \) (по стороне, так как \( BM \) — медиана)
• \( BM \) — общая сторона.
5. Таким образом, \( \triangle ABM = \triangle CBM \) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
6. Альтернативно, можно использовать второй признак равенства треугольников, так как \( AB = BC \), \( \angle AMB = \angle CMB = 90^{\circ} \), \( BM \) — общая сторона.
7. Также, учитывая, что \( BM \) — биссектриса угла \( \angle ABC \), то \( \angle ABM = \angle CBM \). Тогда \( \triangle ABM = \triangle CBM \) по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними: \( AB = BC \), \( \angle ABM = \angle CBM \), \( BM \) — общая сторона).

Доказано.