6. Треугольники АВС и КMN — прямоугольные, у которых гипотенузы АВ и КМ равны. Известно, что ∠A = 36°, ∠M = 54°. Укажите верные утверждения.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Шаг 1: Дано: ∆ABC и ∆KMN — прямоугольные. AB = KM (гипотенузы). ∠A = 36°, ∠M = 54°.
2. Шаг 2: В ∆ABC: ∠A = 90° (по условию, если это не так, то ∠A = 36° - острый угол, а какой угол прямой, не указано. Предполагаем, что A, K - прямые углы, что противоречит условию ∠A = 36° и ∠M = 54°. Будем считать, что ∠B = 90° и ∠N = 90°, тогда AB и KM - гипотенузы).
3. Уточнение условия: Если треугольники прямоугольные, то у каждого есть прямой угол. По условию ∠A = 36°, ∠M = 54°. Значит, прямые углы должны быть у вершин B (в ∆ABC) и N (в ∆KMN). Тогда AB и KM - гипотенузы.
4. Шаг 3: Итак, имеем: ∆ABC (∠B = 90°, ∠A = 36°) и ∆KMN (∠N = 90°, ∠M = 54°). Гипотенузы AB = KM.
5. Шаг 4: Найдем остальные углы:
   В ∆ABC: ∠C = 180° - 90° - 36° = 54°.
   В ∆KMN: ∠K = 180° - 90° - 54° = 36°.
6. Шаг 5: Сравниваем углы:
   ∠A = 36°, ∠K = 36°
   ∠B = 90°, ∠N = 90°
   ∠C = 54°, ∠M = 54°
7. Шаг 6: Поскольку у треугольников равны гипотенузы (AB = KM) и все соответствующие острые углы (∠A = ∠K, ∠C = ∠M), то треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников «гипотенуза и острый угол» (или по УСУ).
   ∆ABC = ∆KMN
8. Шаг 7: Из равенства треугольников следуют равенства соответствующих сторон:
   AB = KM (дано)
   BC = MN (стороны, противолежащие равным углам A и K)
   AC = KN (стороны, противолежащие равным углам B и N)
9. Шаг 8: Анализируем утверждения:
   1) BC = KN. По нашим выводам, AC = KN, а BC = MN. Утверждение неверно.
10. 2) BC = MN. Верно, так как они противолежат равным углам ∠A и ∠K.
11. 3) AC = MN. По нашим выводам, AC = KN, а BC = MN. Утверждение неверно.
12. 4) ∆ABC = ∆KMN. Верно, мы доказали это.

Ответ: 2, 4