6. Три резистора сопротивлениями R₁ = 10 Ом, R₂ = 6 Ом и R₃ = 3 Ом соединены в цепь как показано на рисунке. На каком резисторе выделится наибольшее количество теплоты?

Решение:

Количество теплоты, выделяемое на резисторе, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению и времени. Так как время одинаково для всех резисторов, нам нужно сравнить значения \(I^2 · R\) для каждого резистора.

На рисунке видно, что резисторы \(R_1\) и \(R_2\) соединены последовательно, а резистор \(R_3\) параллельно к ним.

Пусть общий ток в цепи равен \(I_{общ}\). Тогда ток, проходящий через ветвь с \(R_1\) и \(R_2\), равен \(I_1 = I_2 = I_{общ}\). Ток, проходящий через \(R_3\), равен \(I_3\).

Напряжение на параллельных ветвях одинаково:

• \[ U = I_1 · R_1 + I_2 · R_2 = I_1 · (R_1 + R_2) \]
• \[ U = I_3 · R_3 \]

Следовательно:

• \[ I_1 · (R_1 + R_2) = I_3 · R_3 \]
• \[ I_1 · (10 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}) = I_3 · 3 \text{ Ом} \]
• \[ I_1 · 16 = I_3 · 3 \]
• \[ I_3 = \frac{16}{3} I_1 \]

Теперь сравним количество выделяемой теплоты:

Для R₁:

• \[ Q_1 = I_1^2 · R_1 = I_1^2 · 10 \]

Для R₂:

• \[ Q_2 = I_2^2 · R_2 = I_1^2 · 6 \]

Для R₃:

• \[ Q_3 = I_3^2 · R_3 = \left( \frac{16}{3} I_1 \right)^2 · 3 = \frac{256}{9} I_1^2 · 3 = \frac{256}{3} I_1^2 \]

Сравним коэффициенты при \(I_1^2\):

• Для \(R_1\): 10
• Для \(R_2\): 6
• Для \(R_3\): \(\frac{256}{3} \approx 85.33\)

Наибольшее значение у \(R_3\).