6. Царский погреб. Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 3 яблока, или 13 яблок. 1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)? Запишите количество возможных вариантов ответа на этот вопрос.

Общее количество яблок за день имеет вид 3a + 13b, где a и b — неотрицательные целые числа и a + b > 0.

Проверим положительные натуральные числа, которые нельзя представить в таком виде. До 13 это 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 и 11. Числа 14, 17, 20 и 23 тоже не подходят: вычитание 13 из каждого оставляет число, не делящееся на 3. Все числа больше 23 можно представить: среди любых трёх последовательных чисел есть число, делящееся на 3; для числа n ≥ 24 такое число n − 13b с некоторым b от 0 до 2 остаётся не меньше 3 и выражается как сумма троек.

Итак, положительных невозможных количеств 12. Если считать натуральным числом также 0, то 0 тоже невозможно, поскольку за день птица летает хотя бы один раз, и ответ будет 13.

Ответ: 12 положительных количеств (или 13, если включать 0 в натуральные числа).