6) У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность поклёвки в первом месте равна 1/3, во втором – 1/2, в третьем – 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза и вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил на первом из излюбленных мест?

Решение:

Обозначим места как $$M_1, M_2, M_3$$. Вероятность посещения каждого места равна $$P(M_1) = P(M_2) = P(M_3) = \frac{1}{3}$$.

Вероятность поклёвки в каждом месте:

• $$P(К|M_1) = \frac{1}{3}$$
• $$P(К|M_2) = \frac{1}{2}$$
• $$P(К|M_3) = \frac{1}{4}$$

Рыбак забросил удочку 3 раза и вытащил только одну рыбу. Это означает, что в двух случаях клёва не было, а в одном — был.

Сначала найдём общую вероятность того, что была вытащена ровно одна рыба за 3 заброса. Это можно сделать, рассмотрев все возможные комбинации посещения мест и исходов (клёв/нет клёва). Однако, проще воспользоваться теоремой Байеса, если мы хотим найти вероятность того, что рыбачил на первом месте, при условии, что была вытащена одна рыба.

Пусть $$E$$ — событие, что была вытащена ровно одна рыба за 3 заброса. Нам нужно найти $$P(M_1|E)$$.

По формуле Байеса: $$P(M_1|E) = \frac{P(E|M_1) P(M_1)}{P(E)}$$.

Теперь рассчитаем $$P(E|M_1)$$, $$P(E|M_2)$$, $$P(E|M_3)$$, а затем $$P(E)$$.

Вероятность не-клёва:

• $$P(\text{не К}|M_1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
• $$P(\text{не К}|M_2) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
• $$P(\text{не К}|M_3) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Вероятность вытащить ровно одну рыбу за 3 заброса, если рыбак посещал только одно место $$M_i$$:

Для $$M_1$$: $$P(E|M_1) = C_3^1 \times P(К|M_1) \times (P(\text{не К}|M_1))^2 = 3 \times \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^2 = 1 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$$

Для $$M_2$$: $$P(E|M_2) = C_3^1 \times P(К|M_2) \times (P(\text{не К}|M_2))^2 = 3 \times \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$$

Для $$M_3$$: $$P(E|M_3) = C_3^1 \times P(К|M_3) \times (P(\text{не К}|M_3))^2 = 3 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^2 = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{9}{16} = \frac{27}{64}$$

Теперь найдём полную вероятность события $$E$$ (вытащить ровно одну рыбу за 3 заброса), используя формулу полной вероятности, учитывая, что места посещаются с равной вероятностью:

$$P(E) = P(E|M_1) P(M_1) + P(E|M_2) P(M_2) + P(E|M_3) P(M_3)$$

$$P(E) = \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} + \frac{3}{8} \times \frac{1}{3} + \frac{27}{64} \times \frac{1}{3}$$

$$P(E) = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{9} + \frac{3}{8} + \frac{27}{64} \right)$$

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9, 8, 64: $$9 \times 64 = 576$$.

$$P(E) = \frac{1}{3} \left( \frac{4 \times 64}{9 \times 64} + \frac{3 \times 72}{8 \times 72} + \frac{27 \times 9}{64 \times 9} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{256}{576} + \frac{216}{576} + \frac{243}{576} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{256 + 216 + 243}{576} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{715}{576} = \frac{715}{1728}$$

Теперь найдём искомую вероятность $$P(M_1|E)$$:

$$P(M_1|E) = \frac{P(E|M_1) P(M_1)}{P(E)} = \frac{\frac{4}{9} \times \frac{1}{3}}{\frac{715}{1728}} = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{715}{1728}} = \frac{4}{27} \times \frac{1728}{715}$$

Сократим 1728 на 27. $$1728 / 27 = 64$$.

$$P(M_1|E) = 4 \times \frac{64}{715} = \frac{256}{715}$$

Ответ: $$\frac{256}{715}$$