6. Упростить: \(\left(\frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\frac{y}{x}\right)^{-1/2}\), при \(x>0,\ y>0\).

Question

Вопрос:

6. Упростить: \(\left(\frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\frac{y}{x}\right)^{-1/2}\), при \(x>0,\ y>0\).

Accepted Answer

Положим \(a=x^{1/4}\), \(b=y^{1/4}\). Тогда \(x=a^4\), \(y=b^4\).

Первую дробь разложим с помощью формулы разности квадратов:

\(\frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}=\frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b}=\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a^2(a+b)}=\frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2}.\)

Вторая дробь равна \(\frac{a^2-b^2}{a+b}=a-b\). Поэтому разность дробей:

\(\frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2}-(a-b)=\frac{(a-b)b^2}{a^2}.\)

Так как \(x,y>0\), множитель \(\left(\frac{y}{x}\right)^{-1/2}=\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{a^2}{b^2}\). Следовательно, всё выражение равно \(\frac{(a-b)b^2}{a^2}\cdot\frac{a^2}{b^2}=a-b\).

Ответ: \(x^{1/4}-y^{1/4}\).