6. Упростите выражение: a) 2²/₃ x²y⁸ ⋅ (−1¹/₂ xy³ )⁴

Для упрощения выражения сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

\( 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \)

\( -1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2} \)

Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

\( \frac{8}{3} x^2 y^8 \cdot \left(-\frac{3}{2} xy^3\right)^4 \)

Возведем вторую скобку в четвертую степень:

\( \left(-\frac{3}{2} xy^3\right)^4 = \left(-\frac{3}{2}\right)^4 \cdot x^4 \cdot (y^3)^4 \)

\( \left(-\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{(-3)^4}{2^4} = \frac{81}{16} \)

\( (y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12} \)

Получаем:

\( \frac{81}{16} x^4 y^{12} \)

Теперь умножим первое выражение на второе:

\( \frac{8}{3} x^2 y^8 \cdot \frac{81}{16} x^4 y^{12} = \left(\frac{8}{3} \cdot \frac{81}{16}\right) \cdot (x^2 \cdot x^4) \cdot (y^8 \cdot y^{12}) \)

Умножим дроби:

\( \frac{8}{3} \cdot \frac{81}{16} = \frac{8 \cdot 81}{3 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 27}{1 \cdot 2} = \frac{27}{2} \)

Сложим степени с одинаковыми основаниями:

\( x^2 \cdot x^4 = x^{2+4} = x^6 \)

\( y^8 \cdot y^{12} = y^{8+12} = y^{20} \)

Собираем всё вместе:

\( \frac{27}{2} x^6 y^{20} \)

Можно представить результат и в виде смешанной дроби:

\( 13\frac{1}{2} x^6 y^{20} \)

Ответ: \( \frac{27}{2} x^6 y^{20} \) или \( 13\frac{1}{2} x^6 y^{20} \).